สมการกำลังสองตัวแปรเดียว สามารถเขียนได้ในรูป
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
วิธีที่ 1 ใช้ Quadratic Formula
การหาคำตอบของสมการสำหรับสัมประสิทธิ์ $ a, b, c $ ใด ๆ สามารถหาได้โดยใช้ Quadratic Formula
$$ x = -b \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
ตัวอย่าง 1:
หากเรามีสมการกำลังสองตัวแปรเดียว เช่น
$$ x(x+5) = 14 $$
สมการตัวอย่างสามารถจัดให้อยู่ในรูปทั่วไปของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว เริ่มด้วยการคูณ $x$ กับ $(x+5)$
$$ x^2 + 5x = 14 $$
และลบ $14$ ทั้งสองข้างของสมการ จะได้
$$ x^2 + 5x - 14 = 0 $$
เราจะได้ว่า $a = 1, b = 5, c = 14$ และสามารถนำไปแทนค่าใน Quadratic Formula จะได้เป็น
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-14)}}{2(1)} $$
คำนวณแต่ละส่วน
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} $$
$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} $$
$$ x = \frac{-5 \pm 9}{2} $$
จะได้คำตอบจากสองกรณี คือ
$$ x = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ และ
$$ x = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$
ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ
$$ x = 2, \, x = -7 $$
ซึ่งถ้าเราลองนำคำตอบที่ได้ลงไปแทนในสมการตัวอย่าง ก็จะเห็นว่าคำตอบ $x$ ทั้งสองกรณีทำให้สมการเป็นจริง
เราจะเห็นว่าการใช้ Quadratic Formula นั้นสามารถให้คำตอบที่ถูกต้อง แต่สมการจากตัวอย่าง เราสามารถหาคำตอบได้ด้วยวิธีที่ง่ายกว่าด้วยการใช้วิธีแยกตัวประกอบ
การแยกตัวประกอบของสมการยกกำลังสองไม่ได้มีความหมายต่างไปกับการแยกตัวประกอบของจำนวนใด ๆ เช่น $10$ แยกตัวประกอบได้เป็น $(2)(5)$ หรือ $(1)(10)$
เช่นเดียวกันกับสมการ $ x^2 + 5x - 14 = 0 $ เราจะทำการแยก $ (x^2 + 5x - 14) $ ให้อยู่ในรูปสองจำนวนคูณกัน คือ $ (x+7)(x-2) $
วิธีที่ 2 ใช้วิธีการแยกตัวประกอบ
สมมติให้สมการที่อยู่ในรูปตัวประกอบมีสัมประสิทธิ์เป็น $p, q, m, n$ เราสามารถเขียนได้ว่า
$$ (px+q)(mx+n) = ax^2 + bx + c \tag1$$
ทำการคูณกระจายในด้านซ้ายของสมการ เริ่มจากพจน์ $px$
$$ (px)(mx+n) = (pm)x^2 + (pn)x \tag{2}$$
และพจน์ $q$
$$ (q)(mx+n) = (qm)x + nq \tag{3}$$
นำสมการ (2) และ (3) มาบวกกันจะได้
$$ (px+ q)(mx+n) = pmx^2 + (pn+qm)x + (nq) $$
เพราะฉะนั้น สมการที่ (1) สามารถเขียนได้ว่า
$$ (pm)x^2 + (pn+qm)x + (nq) = ax^2 + bx + c $$
จะเห็นได้ว่าเราสามารถเทียบสัมประสิทธิ์ได้ดังนี้
$$ pm = a $$
$$ (pn+qm) = b$$
$$ qn = c $$
ในกรณีที่สัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^2$ เป็น 1 เราสามารถสมมติให้ $ p = 1, m =1 $ ทำให้การเทียบสัมประสิทธ์จะเหลือเพียง
$$ n+q = b $$
$$ nq = c $$
และสมการที่ (1) จะสามารถลดรูปได้เป็น
$$ (x + q)(x+n) = x^2 + bx + c $$
จากตรงนี้ จะเหลือคำถามเพียงแค่ "จำนวนใดคูณกันแล้วได้ $c$ และบวกกันแล้วได้ $b$"
ตัวอย่าง 2:
เราจะใช้วิธีที่สองในการหาคำตอบจากตัวอย่างเดิม คือ สมการ
$$ x^2 + 5x - 14 = 0 $$
ในที่นี้การหาจำนวนทั้งสองจำนวนนั้น ทำได้โดยการดูตัวประกอบของ $c$ จากสมการตัวอย่างคือ $-14$ เกิดจากจำนวนสองจำนวนคูณกัน เช่น $(-1)(14)$ หรือ $(-14)(1)$ หรือ $(-2)(7)$ หรือ $(-7)(2)$ อย่างไรก็ตาม จำนวนสองจำนวนนี้ต้องบวกกันได้ $b$ คือ $5$ เพราะฉะนั้นจำนวนสองจำนวนนั้นคือ $-2$ และ $7$ เป็นกรณีเดียวที่คูณกันแล้วได้ $-14$ และ บวกกันแล้วได้ $5$
เพราะฉะนั้น $ x^2 + 5x - 14 $ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $ (x-2)(x+7) $
หลังจากแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว เราจะเหลือสมการเป็น
$$ (x-2)(x+7) = 0 $$
สมการจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อวงเล็บใดวงเล็บหนึ่งมีค่าเป็น $0$ เพราะฉะนั้นคำตอบของสมการจะมาจากสองกรณีคือ
$$ x-2 = 0 $$
$$ x+7 = 0 $$
ทำการแก้สมการจะได้คำตอบของสมการยกกำลังสองเป็น
$$ x = 2, \, x = -7 $$
อย่างไรก็ตาม สมการยกกำลังสองอาจไม่ได้มีค่าสัมประสิทธิ์ $a = 1$ เสมอไป เช่น
ตัวอย่าง 3:
จงหาคำตอบของสมการยกกำลังสอง
$$ 3x^2 - 8x +4 = 0 $$
ในกรณีนี้ เราสามารถเริ่มจากการหาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้ $4$ เหมือนเดิม เช่น $(2)(2)$ หรือ $(-2)(-2)$ เพราะฉะนั้นหน้าตาของตัวประกอบอาจเป็น
$ ??(3x+2)(x+2) ??$
หรือ
$ ??(3x-2)(x-2)?? $
แต่ในกรณีนี้ต้องพิจารณาคู่ $(pn+qm) $ จากสัมประสิทธิ์ในรูปตัวประกอบ $(px+q)(mx+n)$ หรือจำง่าย ๆ ว่า คู่ห่าง $ (\mathbf{3}x-2)(x\mathbf{-2}) $ และคู่ชิด $ (3x\mathbf{-2})(\mathbf{1}x-2) $ ว่าบวกกันแล้วได้เท่ากับ $b$ หรือสัมประสิทธิ์หน้า $x$ หรือไม่ ในที่นี้คู่ห่างคูณกันได้ $(3)(-2) = -6$ (อย่าลืมเครื่องหมายด้วย) และคู่ชิดคูณกันได้ $(-2)(1) = -2$ บวกกันได้ $-8$ พอดี
เพราะฉะนั้น $ 3x^2 - 8x +4 = 0 $ แยกตัวประกอบได้เป็น
$$ (3x-2)(x-2) \checkmark$$
แก้สมการจากสองกรณีที่วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเป็น 0 ทำให้คำตอบของสมการนี้คือ
$$ x = \frac{2}{3}, \, x = 2 $$
.
.
.
